2皂膜表面張力系數(shù)測(cè)量

由于皂膜厚度很小，其表面張力系數(shù)不能簡(jiǎn)單采用對(duì)半無(wú)限深液體表面張力系數(shù)分析的結(jié)果。Sane等通過(guò)皂膜的力平衡分析得到一種測(cè)量皂膜表面張力系數(shù)的簡(jiǎn)便方法，但在推導(dǎo)中多處采用了近似方法。本文給出一個(gè)嚴(yán)格推導(dǎo)，得出確切結(jié)論，并通過(guò)后文介紹的平面流動(dòng)皂膜測(cè)量結(jié)果對(duì)該結(jié)論進(jìn)行檢驗(yàn)，證明推導(dǎo)的正確性；在此基礎(chǔ)上，計(jì)算皂膜的表面張力系數(shù)。

如圖1(a)所示，尼龍繩BE和CD下方懸掛質(zhì)量為m的砝碼以施加張力、保持流道穩(wěn)定。當(dāng)沒(méi)有皂液流動(dòng)時(shí)，尼龍線BE和CD在砝碼作用下保持鉛直；當(dāng)皂液流入流道形成皂膜，尼龍繩BE和CD在皂膜表面張力的作用下向皂膜側(cè)略微收縮，形成微微內(nèi)凹的流道(圖中對(duì)內(nèi)凹程度有所放大)。從力平衡的角度出發(fā)，推導(dǎo)出該內(nèi)凹曲線的形狀與皂膜表面張力系數(shù)的關(guān)系，可以給出一種測(cè)量流動(dòng)皂膜表面張力系數(shù)的方法。

選取尼龍繩BE的中點(diǎn)O為坐標(biāo)系原點(diǎn)，x軸為重力方向。設(shè)A為尼龍繩OB段上任一點(diǎn)，坐標(biāo)為(xA,yA)，對(duì)尼龍繩段OA進(jìn)行受力分析。簡(jiǎn)單的受力大小估計(jì)表明：當(dāng)皂膜流向方向的尺寸在1 m量級(jí)、砝碼自重在1 kg量級(jí)時(shí)，尼龍繩自重、流動(dòng)皂膜對(duì)尼龍繩的動(dòng)壓力、黏性力等都至多為尼龍繩張力的1/104，在后續(xù)分析中忽略它們對(duì)尼龍繩力平衡的影響。因此，尼龍繩受到點(diǎn)O、點(diǎn)A的拉力FO、FA以及尼龍繩上各微元段ds=dx/cosθ(x)的表面張力，其中，θ(x)表示尼龍繩上一點(diǎn)x處切向方向與重力方向的夾角。由于對(duì)稱性，在中點(diǎn)O處θ(0)=0。因此，尼龍繩段OA在水平和豎直方向的受力平衡關(guān)系式分別為：

在推導(dǎo)式(1)和(2)時(shí)，假設(shè)皂膜邊界上的表面張力系數(shù)γ不隨位置而變化(對(duì)于充分發(fā)展達(dá)到穩(wěn)定流動(dòng)的皂膜，此假設(shè)是合理的)；式中的系數(shù)“2”是考慮到皂膜前后表面都會(huì)對(duì)尼龍繩產(chǎn)生表面張力。

將式(1)和(2)相除，并注意到點(diǎn)A的任意性，可以得到描述流道內(nèi)凹形狀的曲線方程：

對(duì)式(3)積分，并結(jié)合邊界條件y(x=0)=0，得到曲線方程如下：

式(4)中包含未知參數(shù)FO(即尼龍繩中點(diǎn)O處的拉力)，其值可以通過(guò)將式(2)應(yīng)用于B點(diǎn)，并代入B點(diǎn)處尼龍繩的力平衡關(guān)系FBcosθ(xB)=mg/2得到：

式中，L為BE段尼龍繩長(zhǎng)度，推導(dǎo)式(5)時(shí)使用了xB=L/2。式(4)可稍加整理為：

其中，參數(shù)2γL/FO的值為：

式(6)和(7)即為邊界曲線形狀的準(zhǔn)確方程。在推導(dǎo)方程的過(guò)程中，除物理上的簡(jiǎn)單假設(shè)(如忽略尼龍繩自重)外，未作任何數(shù)學(xué)上的近似。

與懸掛物(砝碼)的重力相比，表面張力通常很小。例如，當(dāng)L=1 m、m=1 kg時(shí)，取純水的表面張力系數(shù)γ=72 mN/m，得到2γL/(mg)≈1.5×10-2，代入式(7)得到2γL/FO≈3.0×10-2。記ε=2γL/FO，ε′=2γL/(mg)，則ε和ε′為同階遠(yuǎn)小于1的小量。因此，對(duì)式(6)關(guān)于ε進(jìn)行小參數(shù)展開可得：

式(8)表明：流道邊界曲線方程可以很好地用拋物線來(lái)近似(因?yàn)橄乱浑A修正項(xiàng)為ε3項(xiàng))，并且給出了確切的系數(shù)，可以據(jù)此測(cè)出皂膜的表面張力系數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，可以利用ε′?1對(duì)其進(jìn)一步簡(jiǎn)化得到：

為驗(yàn)證曲線方程(10)，在砝碼質(zhì)量m=0.2 kg、皂液流量Q=35 mL/min時(shí)，實(shí)測(cè)了穩(wěn)態(tài)流動(dòng)皂膜狀態(tài)下尼龍繩的位置坐標(biāo)，如圖2中的離散點(diǎn)所示。尼龍繩位置通過(guò)照相得到，為獲得較大范圍內(nèi)的圖像，采用的放大倍數(shù)為1個(gè)像素對(duì)應(yīng)0.35 mm的物理尺寸。對(duì)尼龍繩圖像在水平方向的光強(qiáng)分布進(jìn)行高斯函數(shù)擬合以獲得亞像素的定位精度。圖2中的光滑曲線是采用式(10)進(jìn)行擬合的結(jié)果，與實(shí)測(cè)曲線吻合良好，驗(yàn)證了分析的正確性。利用已知的砝碼質(zhì)量，可以進(jìn)一步得到表面張力系數(shù)γ=27.5 mN/m。值得注意的是：當(dāng)砝碼質(zhì)量很小時(shí)，表面張力引起的流道收縮很大(在中點(diǎn)O處達(dá)到最大值12%)，為避免由此帶來(lái)的流速和厚度場(chǎng)改變，在流動(dòng)皂膜實(shí)驗(yàn)中一般使用m=2 kg的砝碼。

圖2流道邊界實(shí)測(cè)值(紅色點(diǎn))與理論分析(藍(lán)色線)對(duì)比

Sane等推導(dǎo)了表面張力系數(shù)與尼龍繩曲線方程的關(guān)系，但并未獲得曲線方程的精確解，而是采用高階多項(xiàng)式對(duì)實(shí)測(cè)曲線進(jìn)行擬合，發(fā)現(xiàn)選取二階多項(xiàng)式可以得到較好的結(jié)果，從而也獲得了式(10)，并通過(guò)擬合系數(shù)得到了表面張力系數(shù)。本文的嚴(yán)格推導(dǎo)說(shuō)明：流道邊界曲線是拋物線加上高兩階小量的修正。圖(2)也證明了這一推導(dǎo)結(jié)論的正確性。

采用測(cè)量邊界曲線形狀的方式來(lái)獲得表面張力系數(shù)，在實(shí)驗(yàn)上存在一處困難：通常邊界曲線曲率較小，為測(cè)出其具體形狀必須拍攝較大范圍；對(duì)于幅面大小一定的相機(jī)，這意味著空間分辨率的降低，給準(zhǔn)確確定邊界曲線帶來(lái)了一定困難。因此，本文提出一種新的、更簡(jiǎn)便易行的表面張力系數(shù)測(cè)量方法。

根據(jù)式(10)，可以給出流道中點(diǎn)O在有皂膜流動(dòng)時(shí)相對(duì)于無(wú)皂膜流動(dòng)時(shí)(即尼龍繩為豎直狀態(tài)時(shí))的位移：

因此，通過(guò)測(cè)量給定砝碼質(zhì)量下流道中點(diǎn)O的位移，就可以很方便地使用式(11)得到皂膜的表面張力系數(shù)。此方法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是：無(wú)需拍攝大范圍的尼龍繩圖像，照相時(shí)可以采用較大的放大倍數(shù)，獲得較高的空間分辨率。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，本文采用了每像素對(duì)應(yīng)0.01 mm物理尺寸的分辨率。根據(jù)式(11)，γ≈2mgyO/L2，砝碼質(zhì)量m=(500±1)g和尼龍繩長(zhǎng)度L=(500±1)mm的測(cè)量都可以控制在0.2%的測(cè)量偏差范圍內(nèi)。當(dāng)yO=(1±0.01)mm的測(cè)量偏差范圍降低至1%，實(shí)現(xiàn)了僅有2%左右不確定度的表面張力系數(shù)測(cè)量。

圖3給出了在同一皂液流量Q=35 mL/min下測(cè)得的流道中點(diǎn)O的位移隨砝碼質(zhì)量的變化以及根據(jù)式(11)擬合的直線。所有數(shù)據(jù)點(diǎn)都很好地落在過(guò)原點(diǎn)的擬合直線上，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文推導(dǎo)的正確性。根據(jù)直線斜率測(cè)得的表面張力系數(shù)γ=27.1 mN/m，與前述拋物線擬合法得到的結(jié)果相近。

圖3流道中點(diǎn)O在有/無(wú)皂膜流動(dòng)時(shí)的位移量隨砝碼質(zhì)量的變化

利用這一方法，還測(cè)量了表面張力系數(shù)隨皂液流量的變化關(guān)系，如圖4所示。圖中曲線并非如部分文獻(xiàn)報(bào)道的“表面張力系數(shù)隨皂液流量增加而單調(diào)下降”，這可能是由于表面張力系數(shù)隨皂膜厚度變化而有所變化、且實(shí)驗(yàn)中皂膜厚度并非均勻分布導(dǎo)致的。

圖4表面張力系數(shù)隨皂液流量的變化

3、結(jié)論

本文搭建了一個(gè)重力驅(qū)動(dòng)的平面流動(dòng)皂膜實(shí)驗(yàn)裝置，能夠得到皂液流量Q=5~60 mL/min、平均速度u=1~4 m/s、平均厚度h=3~9μm的穩(wěn)定豎直流動(dòng)的皂膜。為測(cè)量皂膜的表面張力系數(shù)，基于皂膜邊界上的力平衡方程推導(dǎo)得到流動(dòng)皂膜邊界曲線方程的精確解。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文推導(dǎo)，并由此得出表面張力系數(shù)的兩種測(cè)量方法。此外，還提出了一種基于光學(xué)干涉的皂膜厚度測(cè)量方法。將該方法與皂膜流動(dòng)速度剖面測(cè)量相結(jié)合，可以給出皂膜的厚度剖面。本文中提出的皂膜表面張力系數(shù)及厚度的測(cè)量方法簡(jiǎn)便易行，可以較為全面地測(cè)量平面流動(dòng)皂膜并評(píng)估其特性(如擾動(dòng)波在皂膜中的傳播速度)。